Como \(\alpha+\beta+\gamma=\pi\) , se tiene:

\({\rm tg}\gamma={\rm tg}(\pi-(\alpha+\beta)=-{\rm tg}(\alpha+\beta)\)

Aplicando la fórmula de la tangente de la suma:

[1] \({\rm tg}\gamma=-\dfrac{{\rm tg}\alpha+{\rm tg}\beta}{1-{\rm tg}\alpha·{\rm tg}\beta}\)

Entonces: \({\rm tg}\alpha+{\rm tg}\beta+{\rm tg}\gamma={\rm tg}\alpha+{\rm tg}\beta-\dfrac{{\rm tg}\alpha+{\rm tg}\beta}{1-{\rm tg}\alpha·{\rm tg}\beta}\).

Operando y simplificando el segundo miembro, se tiene:

\({\rm tg}\alpha+{\rm tg}\beta+{\rm tg}\gamma=\dfrac{-{\rm tg}^2\alpha·{\rm tg}\beta-{\rm tg}\alpha·{\rm tg}^2\beta}{1-{\rm tg}\alpha·{\rm tg}\beta}\)

Sacando factor común:

\({\rm tg}\alpha+{\rm tg}\beta+{\rm tg}\gamma={\rm tg}\alpha·{\rm tg}\beta·\left(-\dfrac{{\rm tg}\alpha+{\rm tg}\beta}{1-{\rm tg}\alpha·{\rm tg}\beta}\right)\)

A la expresión del paréntesis se le aplica de nuevo [1] y queda:

\({\rm tg}\alpha+{\rm tg}\beta+{\rm tg}\gamma={\rm tg}\alpha·{\rm tg}\beta·{\rm tg}\gamma\)