Coseno:

Se define \(cos α = \dfrac{coordenada\ horizontal\ de\ P}{radio}\).

Entonces \(sen α = \dfrac{BP}{OP}\).

Como \(OP = 1,\ sen α = BP\).

Tangente

Se define \(tg α = \dfrac{coordenada\ vertical\ de\ P}{coordenada\ horizontal\ de\ P}\).

Entonces \(tg α = \dfrac{PQ}{OQ}\).

Se prolonga OP hasta cortar en D a la recta tangente a la circunferencia en C.

Los triángulos OPQ y ODC están en posición de Tales. Por el teorema de Tales, \(\dfrac{PQ}{OQ} = \dfrac{CD}{OC}\).

Como \(OC = 1, tg α = CD\).

Cosecante:

Se define \(cosec α = \dfrac{1}{sen α}\).

El teorema del cateto dice que un cateto al cuadrado es igual al producto de su proyección sobre la hipotenusa por la propia hipotenusa. En el triángulo rectángulo OPH de la figura, se tiene entonces que \(OP^2=OQ·OH\).

Como \(OP = 1\) y \(OQ = sen α\), se tiene que \(1 = senα·OH\).

Entonces \(\dfrac{1}{sen α} = OH\), es decir, que \(cosec α = OH\).

Secante:

Se define \(sec α = \dfrac{1}{cos α}\).

El teorema del cateto dice que un cateto al cuadrado es igual al producto de su proyección sobre la hipotenusa por la propia hipotenusa. En el triángulo rectángulo OGP de la figura, se tiene entonces que \(OP^2=OQ·OG\).

Como \(OP = 1\) y \(OQ = cos α\), se tiene que \(1 = cosα·OG\).

Entonces \(\dfrac{1}{cos α} = OG\), es decir, que \(sec α = OG\).

Cotangente

Se define \(cotg α = \dfrac{1}{tg α}\).

Por tanto, \(cotg α = \dfrac{coordenada\ horizontal\ de\ P}{coordenada\ vertical\ de\ P}\).

Entonces \(cotg α = \dfrac{PQ}{OQ}\).

Se prolonga OP hasta cortar en F a la recta tangente a la circunferencia en E.

Los triángulos OPQ y OFE están en posición de Tales. Por el teorema de Tales, \(\dfrac{PQ}{OQ} = \dfrac{EF}{OE}\).

Como \(OE = 1, cotg α = EF\).