Teano envió la siguiente solución:

Imagínate un número múltiplo de 9: a₀ + 10·a₁ + 100·a₂ + ...+ 10ⁿ·a_n

Quieres ver que la suma de todas sus cifras sigue siendo un múltiplo de 9.

Usando que si a un múltiplo de 9 le sumas/restas otro múltiplo de nueve el resultado sigue siendo un múltiplo de nueve, sólo tienes que restarle:

9·a₁
99·a₂
999·a₃
...
(10ⁿ - 1)·a_n

Y te queda el número a₀ + a₁ + a₂ + ...+ a_n , que como sale de restar múltiplos de 9 a un múltiplo de 9, será un múltiplo de 9.

Si este múltiplo de 9 tiene más de una cifra, vuelves a restar y te volverá a quedar un múltiplo de 9. Hasta que tengas un número que tenga una sola cifra. Y cuando tengas un número con una sola cifra, tendrás un número que será a la vez múltiplo de 9 y a la vez de una cifra. Y solo puede ser el 9. Por tanto, la suma es 9.