Pilar de la Cruz propone una sencilla y elegante demostración:

1. Los triángulos BB'P y APA'' son semejantes (sus lados son paralelos).

2. La longitud de BB' es el doble que la de AA''.

3. Luego las alturas de ambos triángulos correspondientes al vértice P deben estar en la misma relación.

Conclusión: d(P, BB') = 2d(P, AA')

Yo había pensado utilizar que P es el baricentro del triángulo BB'C, pero me gusta más la demostración de Pilar.